18/09 Introduzione al corso. Richiami sulle prime di definizioni di teoria dei gruppi, ordine di un elemento. Sottogruppi generati da un insieme X. Gruppi di permutazioni: richiami su definizioni e proprietà.
20/09 Sottogruppi di un gruppo ciclico: struttura e cardinalità. Gruppi diedrali.
25/09 Relazione di congruenza destra e sinistra rispetto ad un sottogruppo. Classi laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange e suoi corollari.
27/09 Relazioni di equivalenza compatibili in un gruppo e loro rapporto con i sottogruppi normali. Relazione di coniugio. Criterio di normalità di un sottogruppo tramite l'utilizzo degli elementi coniugati. Gruppo quoziente. Gruppo dei quaternioni.
02/10 Teorema di omomorfismo e teoremi di isomorfismo per i gruppi. Applicazioni ed esempi. Corrispondenza fra sottogruppi e sottogruppi normali tramite gli omomorfismi di gruppi.
04/10 Teorema di Cayley. Esempio di Z_n. Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Il caso di Z_n e il gruppo di Klein (Z_2 x Z_2). Sottogruppi caratteristici normalità. Automorfismi interni di un gruppo. Relazioni con le trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale.
09/10 Classi di coniugio in S_n. Caratterizzazione attraverso la struttura ciclica e calcolo della cardinalità delle classi di coniugio.
11/10 Equazione delle classi. Applicazioni: il centro di un p-gruppo non è banale, un gruppo di ordine p^2 è abeliano. Lemma di Cauchy.
16/10 Prodotto diretto di gruppi. Azione di un gruppo G su un insieme X: prime proprietà ed esempi. L'orbita di un'azione.
18/10 Cardinalità dell'orbita è l'indice dello stabilizzatore. Equazione delle classi. Esempi. Calcolo numero delle orbite (Burnside), esempi.
23/10 Teoremi di Sylow, primo e secondo con dimostrazione. Normalizzante di un sottogruppo. Relazione fra cardinalità classe di un coniugio di un sottogruppo e indice del suo normalizzante.
25/10 Applicazioni teoremi di Sylow. Teorema di rappresentazione dei gruppi abeliani finiti come prodotto diretto di gruppi ciclici. Prodotto semidiretto di gruppi: cenni.
30/10 Anelli: definizione e prime proprietà. Divisori dello zero, elementi invertibili. Domini finiti sono campi. Sottoanelli.
02/11 Esercitazione in classe foglio 5.
08/11 Prima prova in itinere
13/11 Ideali di un anello (destri, sinistri e bilateri). Relazioni compatibili in un anello e relazione con ideali bilateri. Anello quoziente. Esempi.
15/11 Ideale primo in un anello commutativo: definizione e caratterizzazione come quoziente. Ideale massimale in un anello commutativo unitario: definizione e caratterizzazione come quoziente. Relazioni fra ideali primi e massimali. Esempi di cosa succede in anelli non unitari.
16/11 Consegna e correzione del primo esonero.
20/11 Il primo teorema di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza di sottoanelli e ideali tramite un omomorfismo di anelli. La proiezione di un anello su un ideale bilatero (R→R/I).
22/11 Il secondo e terzo teorema di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza fra ideali primi e massimali tramite un omomorfismo di anelli. Campo dei quozienti di un anello commutativo e integro.
23/11 Esercitazione in classe foglio n.6.
27/11 Divisibilità nei domini. Elementi primi, irriducibili e associati. Definizione di MCD e domini a Fattorizzazione Unica (UFD). Significato del MCD e dell'Identità di Bezout a livello di ideali del dominio D. Minimo Comune Multiplo.
29/11 Collegamenti fra MCD e mcm di due elementi. Domini del tipo Z[√d].
30/11 Esercitazione in classe foglio n.7.
04/12 Domini a ideali principali (PID). Un PID è un dominio di Bezout è UFD . Esempi. Definizione di dominio euclideo. Primi esempi.
06/12 Un dominio euclideo è un PID. Ideali primi e massimali nei PID; dimensione di Krull di un dominio. Quozienti di anelli di polinomi. Divisione col resto in Z[i].
07/12 Esercitazione in classe foglio n.8.
